Question

9．在凸四边形ABCD中，BD=2，且$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=0$，$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}）•（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}）=5$，则四边形ABCD的面积为3．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$表示出括号内的和向量，化简得出AC，从而可求得四边形的面积．

解答 解：∵$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=0$，∴AC⊥BD，
∵$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}）•（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}）=5$，
∴（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}$）•（$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$）=（$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}$）•（$\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}$）=${\overrightarrow{AC}}^{2}$-${\overrightarrow{BD}}^{2}$=5，
∴$\overrightarrow{AC}$²=${\overrightarrow{BD}}^{2}$+5=9，∴AC=3．
∴四边形ABCD的面积S=$\frac{1}{2}×AC×BD$=$\frac{1}{2}×3×2$=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了平面向量的运算，数量积运算，属于中档题．