Question

8．若函数y=Asin（ωx+$\frac{π}{6}$）（A＞0，ω＞0），两相邻点最高点与最低点的距离为$\sqrt{\frac{{π}^{2}}{4}+16}$，两相邻最高点的横坐标相差π，求这个函数的振幅、周期、对称轴、对称中心及单调增区间．

Answer 1

分析 根据两相邻点最高点与最低点的距离为$\sqrt{\frac{{π}^{2}}{4}+16}$，可得横坐标之间的长度为$\frac{1}{2}$T，纵坐标的距离为2A．
两相邻最高点的横坐标相差π，可得周期T为π．求出A和ω，可得f（x）解析式．即可求出振幅、周期、对称轴、对称中心及单调增区间．

解答 解：函数y=Asin（ωx+$\frac{π}{6}$）（A＞0，ω＞0），两相邻点最高点与最低点的距离为$\sqrt{\frac{{π}^{2}}{4}+16}$，
可得横坐标之间的长度为$\frac{1}{2}$T，纵坐标的距离为2A．
根据勾股定理可得：$\frac{{π}^{2}}{4}+16=\frac{{T}^{2}}{4}+4{A}^{2}$…①．
两相邻最高点的横坐标相差π，可得周期T=π=$\frac{2π}{ω}$…②，带入①式可得：A=2．
由②可得：ω=2．
∴f（x）=2sin（2x$+\frac{π}{6}$）．
故得振幅为2、周期T为π、
对称轴方程为2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z，
∴对称轴x=$\frac{π}{6}+\frac{1}{2}kπ$、k∈Z，
由对称中心横坐标2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，
∴对称中心坐标为（$\frac{1}{2}kπ-\frac{π}{12}$，0）
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
可得：$kπ-\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{π}{6}+kπ$
∴单调增区间为[$kπ-\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z，

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用．属于中档题．