Question

19．直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ-2sinθ．
（1）求C的参数方程；
（2）若点A在圆C上，点B（3，0），求AB中点P到原点O的距离平方的最大值．

Answer 1

分析 （1）已知极坐标方程两边同乘ρ，利用ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，化简方程得直角坐标方程，即可求C的参数方程；
（2）利用参数方程，结合三角函数知识，求AB中点P到原点O的距离平方的最大值．

解答 解：（1）极坐标方程两边同乘ρ，可得ρ²=4ρcosθ-2ρsinθ，
化为直角坐标方程为：x²+y²-4x-2y=0，即（x-2）²+（y+1）²=5，
参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{5}cosα}\\{y=-1+\sqrt{5}sinα}\end{array}\right.$（α为参数）；
（2）设P（x，y），A（m，n），则m=2x-3，n=2y，
∴x²+y²=$\frac{（5+\sqrt{5}cosα）^{2}}{4}$+$\frac{（-1+\sqrt{5}sinα）^{2}}{4}$=$\frac{31-2\sqrt{5}（sinα-5cosα）}{4}$=$\frac{31-2\sqrt{130}sin（α-θ）}{4}$
∴sin（α-θ）=-1，AB中点P到原点O的距离平方的最大值为$\frac{31+2\sqrt{130}}{4}$．

点评 本题是基础题，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程的运用，考查计算能力．