Question

4．设函数f（x）=|x-3|，g（x）=|x-2|
（1）解不等式f（x）+g（x）＜2；
（2）对于实数x，y，若f（x）≤1，g（y）≤1，证明：|x-2y+1|≤3．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，解不等式f（x）+g（x）＜2；
（2）利用绝对值不等式，即可证明结论．

解答 （1）解：解不等式|x-3|+|x-2|＜2．
①当x≤2时，原不等式可化为3-x+2-x＜2，可得$x＞\frac{3}{2}$．所以$\frac{3}{2}＜x≤2$．
②当2＜x≤3时，原不等式可化为3-x+x-2＜2，可得1＜2．所以2＜x≤3．
③当x≥3时，原不等式可化为x-3+x-2＜2，可得$x＜\frac{7}{2}$．所以$3≤x＜\frac{7}{2}$．
由①②③可知，不等式的解集为$\left\{{x\left|{\frac{3}{2}＜x＜\frac{7}{2}}\right.}\right\}$．…（5分）
（2）证明：|x-2y+1|=|（x-3）-2（y-2）|≤|x-3|+2|y-2|≤1+2=3．
当且仅当 $\left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=1\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=3\end{array}\right.$时等号成立．…（10分）

点评 本题考查不等式的解法与证明，考查绝对值不等式，属于中档题．