Question

如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，EA⊥平面ABC，FC∥EA，EA=FC=AB=a．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面BCF；
（Ⅱ）证明五点A、B、C、E、F在同一个球面上，并求A、F两点的球面距离．

Answer 1

考点：球面距离及相关计算,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）证明AB⊥平面BCF，只需证明AB⊥BC，AB⊥FC；
（Ⅱ）四边形ACFE是矩形知OA=OE=OF=OC=OB=

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AF，即可证明五点A、B、C、E、F在同一个球面上，A、F两点之间的球面距离就是半个大圆的弧长，可求A、F两点的球面距离．

解答： 证明：（Ⅰ）∵∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
又EA⊥平面ABC，FC∥EA，∴AB⊥FC，
∵BC∩FC=C，
∴AB⊥平面BCF；
（Ⅱ）由（Ⅰ）△ABF为直角三角形，且∠ABF=90°，
记EC与AF交于点O，则由四边形ACFE是矩形知OA=OE=OF=OC=OB=

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AF，
故五点A、B、C、E、F在以O为球心，AF为直径的球面上，
故A、F两点之间的球面距离就是半个大圆的弧长，是

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πa．

点评：本题考查球面距离及相关计算，考查直线与平面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．