Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=3，a_nb_n=2，b_n+1=a_n（b_n-

2

1+an

），n∈N^*．
（1）求证：数列{

1

bn

}是等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足c_n=2a_n-5，对于任意给定的正整数p，是否存在正整数q，r（p＜q＜r），使得

1

cp

，

1

cq

，

1

cr

成等差数列？若存在，试用p表示q，r；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出b_n+1=a_nb_n-

2an

1+an

=

2bn

bn+2

，由此能证明{

1

bn

}是等差数列，并能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）由a_n=n+2，得以c_n=2a_n-5=2n-1，由此推导出当p=1时，不存在q，r满足题设条件；当p≥2时，存在q=2p-1，r=4p²-5p+2，满足题设条件．

解答： （1）证明：∵a_nb_n=2，∴an=

2

bn

，
则b_n+1=a_nb_n-

2an

1+an

=2-

4 bn

1+ 2 bn

=2-

4

bn+2

=

2bn

bn+2

，…（2分）
∴

1

bn+1

=

1

bn

+

1

2

，
又a₁=3，∴b1=

2

3

，
∴{

1

bn

}是首项为

3

2

，公差为

1

2

的等差数列，…（4分）
即

1

bn

=

3

2

+(n-1)×

1

2

=

n+2

2

，∴bn=

2

n+2

．…（6分）
（2）解：由（1）知a_n=n+2，∴c_n=2a_n-5=2n-1，
①当p=1时，c_p=c₁=1，c_q=2q-1，c_r=2r-1，
若

1

cp

，

1

cq

，

1

cr

成等差数列，则

2

2q-1

=1+

1

2r-1

（*），
∵p＜q＜r，∴q≥2，r≥3，

2

2q-1

＜1，1+

1

2r-1

＞1，
∴（*）不成立．…（9分）
②当p≥2时，若

1

cp

，

1

cq

，

1

cr

成等差数列，
则

2

2q-1

=

1

2p-1

+

1

2r-1

，
∴

1

2r-1

=

2

2q-1

-

1

2p-1

=

4p-2q-1

(2p-1)(2q-1)

，
即2r-1=

(2p-1)(2q-1)

4q-2p-1

，∴r=

2pq+p-2q

4p-2q-1

，…（12分）
欲满足题设条件，只需q=2p-1，此时r=4p²-5p+2，…（14分）
∵p≥2，∴q=2p-1＞p，r-q=4p²-7p+3=4（p-1）²+p-1＞0，
即r＞q．                                        …（15分）
综上所述，当p=1时，不存在q，r满足题设条件；
当p≥2时，存在q=2p-1，r=4p²-5p+2，满足题设条件．…（16分）

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查使得数列为等差数列的正整数是否存在的判断，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．