Question

如图，已知△ABC中，AB=1，AC=2，∠BAC=120°，点M是边BC上的动点，动点N满足∠MAN=30°，

AM

•

AN

=3（点A，M，N按逆时针方向排列）．
（1）若

AN

=λ

AC

（λ＞0），求BN的长；
（2）求△ABN面积的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：综合题,解三角形

分析：（1）利用△ABC的面积等于△ABM与△ACM面积的和，求出AM，利用∠MAN=30°，

AM

•

AN

=3，求出AN，利用余弦定理，计算BN的长；
（2）表示出△ABN面积，利用辅助角公式化简，即可求△ABN面积的最大值．

解答： 解：（1）由

AN

=λ

AC

（λ＞0），得点N在射线AC上，∠BAM=90°，
因为△ABC的面积等于△ABM与△ACM面积的和，
所以

1

2

AB•AM+

1

2

AC•AM•sin30°=

1

2

AB•ACsin120°，得：AM=

3

2

，…（3分）
又∠MAN=30°，

AM

•

AN

=3，
所以AM•ANcos30°=3，即AN=4，
所以BN=

1+16-2×1×4cos120°

=

21

，即BN=

21

；…（6分）
（2）设∠BAM=x，则∠CAM=120°-x，
因为△ABC的面积等于△ABM与△ACM面积的和，
所以

1

2

AB•AMsinx+

1

2

AC•AM•sin（120°-x）=

1

2

AB•ACsin120°，
得：AM=

3

2(sinx+ 3 cosx)

，…（7分）
又∠MAN=30°，

AM

•

AN

=3，
所以AM•ANcos30°=3，即AN=4sinx+2

3

cosx，
所以△ABN的面积S=

1

2

（4sinx+2

3

cosx）sin（x+30°）
=

5

4

sin2x-

3

4

cos2x+

3 3

4

=

2 7

4

sin（2x-φ）+

3 3

4

 …（10分）
（其中：sinφ=

3

2 7

，cosφ=

5

2 7

，φ，为锐角），
所以当2x-φ=90°时，△ABN的面积最大，最大值是

2 7

4

+

3 3

4

．…（12分）

点评：本题考查正弦、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查辅助角公式，考查学生的计算能力，属于中档题．