题目内容
3．
如图，点F为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）右焦点，圆A：（x-t）2+y2=$\frac{16}{3}$（t＜0）与椭圆C的一个公共点为B（0，2），且直线FB与圆A相切于点B．（Ⅰ）求t的值和椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若F′是椭圆C的左焦点，点P是椭圆C上除长轴上两个顶点外的任意一点，且∠F′PF=θ，求θ的最大值．
分析 （Ⅰ）由题意知b=2，由此利用${t}^{2}+4=\frac{16}{3}$，能求出t；由定勾股定理求出c=2$\sqrt{3}$，a=4，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）设|PF′|=m，|PF|=n，由余弦定理得cosθ=$\frac{2{b}^{2}}{mn}-1$≥$\frac{2{b}^{2}}{（\frac{m+n}{2}）^{2}}$-1，由此能求出cosθ的最小值为-$\frac{1}{2}$，θ的最大值为120°．
解答 解：（Ⅰ）由题意知b=2，
又${t}^{2}+4=\frac{16}{3}$，解得t2=$\frac{4}{3}$，
∵t＜0，∴t=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△AFB中，|AB|2+|FB|2=|AF|2，∴$\frac{16}{3}+（4+c）^{2}=（\frac{2\sqrt{3}}{3}+c）^{2}$，
解得c=2$\sqrt{3}$，a=4，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（Ⅱ）设|PF′|=m，|PF|=n，
则由余弦定理得：
cosθ=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-（2c）^{2}}{2mn}$=$\frac{（m+n）^{2}-2mn-（2c）^{2}}{2mn}$
=$\frac{（2a）^{2}-2mn-（2c）^{2}}{2mn}$=$\frac{4{b}^{2}}{2mn}-1$=$\frac{2{b}^{2}}{mn}-1$≥$\frac{2{b}^{2}}{（\frac{m+n}{2}）^{2}}$-1，
∴cos$θ≥\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}}$-1，∴cosθ$≥\frac{8}{16}-1=-\frac{1}{2}$，
当且仅当m=n=4时，取等号，
∴cosθ的最小值为-$\frac{1}{2}$，θ的最大值为120°．
点评 本题考查椭圆方程的求法，考查角的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、余弦定理的合理运用．
名校课堂系列答案
（1）求g（x）的解析式并判断函数g（x）的奇偶性；
（2）求函数g（x）的值域．
| A． | （-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$） | B． | （-∞，$\frac{3}{2}$） | C． | （$\frac{3}{2}$，+∞） | D． | （-∞，$-\frac{1}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，+∞） |
已知正三棱柱ABC-A1B1C的各条棱长都为a，P为A1B的中点，M为AB的中点，