Question

3．如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的$\sqrt{2}$倍，P为侧棱SD上的点，且SD⊥PC．
（1）求二面角P-AC-D的大小；
（2）在侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）连结BD，交AC于点O，连结SO，OP，设SD的中点为Q，连结BQ，△SBD为等边三角形，推导出∠POD是二面角P-AC-D的平面角，由此能求出二面角P-AC-D的大小．
（2）在平面SCD内作QE∥CP，则QE∥面PAC，从而BQ∥面PAC，进而面EBQ∥面PAC，由此能求出存在点E且SE：EC=2：1，使得BE∥面PAC．

解答 解：（1）连结BD，交AC于点O，连结SO，OP，
∵AC⊥平面SBD，∴OP⊥SD，
设SD的中点为Q，
连结BQ，△SBD为等边三角形，∴BQ⊥SD，
∴P为QD的中点，∴P为SD的四等分点，
PD=$\frac{1}{4}$SD，OD=$\frac{1}{2}$BD，
又∵AC⊥OP，AC⊥DO，
∴∠POD是二面角P-AC-D的平面角，
sin∠POD=$\frac{PD}{OD}$=$\frac{\frac{1}{4}SD}{\frac{1}{2}BD}$=$\frac{1}{2}$，
由图可知二面角P-AC-D为锐二面角，
∴二面角P-AC-D的大小为30°．
（2）存在点E且SE：EC=2：1，使得BE∥面PAC．
证明如下：
在平面SCD内作QE∥CP，∴QE∥面PAC，
又BQ∥OP，∴BQ∥面PAC，
又QE∩BQ=Q，∴面EBQ∥面PAC，
∵BE?面EBQ，∴BE∥面PAC，
∴SE：EC=SQ：QP=2：1．

点评 本题考查二面角的大小的求法，考查满足线面平行的点是否存在的求法与判断，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、转化化归思想，是中档题．