Question

15．已知函数f（x）=-sin²x+msinx+2，当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]时函数有最大值为$\frac{3}{2}$，求此时m的值．

Answer 1

分析 利用正弦函数的定义域和值域求得sinx的范围，再利用函数的最大值为$\frac{3}{2}$、二次函数的性质，分类讨论求得m的值．

解答 解：当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]时，sinx∈[$\frac{1}{2}$，1]，
函数f（x）=-sin²x+msinx+2=-${（sinx-\frac{m}{2}）}^{2}$+$\frac{{m}^{2}}{4}$+2，
若$\frac{m}{2}$＜$\frac{1}{2}$，即m＜1，则当sinx=$\frac{1}{2}$时，函数取得最大值为-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$m+2=$\frac{3}{2}$，∴m=-$\frac{1}{2}$．
若-$\frac{1}{2}$≤$\frac{m}{2}$≤1，即-1≤m≤2，则当sinx=$\frac{m}{2}$时，函数取得最大值为$\frac{{m}^{2}}{4}$+2=$\frac{3}{2}$，∴m无解．
若$\frac{m}{2}$＞1，即m＞2，则当sinx=1时，函数取得最大值为-1+m+2=$\frac{3}{2}$，∴m=$\frac{1}{2}$（不合题意，舍去）．
综上，m=-$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，属于中档题．