Question

12．已知函数f（x）=lnx-x．
（1）求f（x）的单调区间及最大值；
（2）若数列{a_n}的通项公式为${a_n}=1+\frac{1}{2^n}（{n∈{N^*}}）$，试结合（1）中有关结论证明：a₁•a₂•a₃…a_n＜e（e为自然对数的底数）．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；
（2）根据ln x≤x-1，得到ln a_n=ln（1+$\frac{1}{2n}$）＜$\frac{1}{2n}$，累加即可．

解答 （1）解：因f（x）=ln x-x，所以f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$．
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．
所以f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；
f（x）的最大值为-1…（6分）
（2）证明：由（1）知，当x＞0时，f（x）≤f（1）=-1，
即ln x≤x-1．当且仅当x=1时才能取等号．
因为a_n=1+$\frac{1}{2n}$（n∈N^*），a_n大于零且不等于1，
所以ln a_n=ln（1+$\frac{1}{2n}$）＜$\frac{1}{2n}$．
令k=1，2，3，…+，n，这n个式子相加得：
ln a₁+ln a₂+…+ln a_n＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{22}$+$\frac{1}{23}$+…$\frac{1}{2n}$=1-$\frac{1}{2n}$＜1．
即ln （a₁a₂a₃…+a_n）＜1，所以a₁a₂a₃…a_n＜e…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．