Question

11．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{2（n+1）}{n}$a_n，设${b_n}=\frac{a_n}{n}$，n∈N^*．
（Ⅰ）证明{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{log₂b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由${a_{n+1}}=\frac{2（n+1）}{n}{a_n}$，得$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}=2•\frac{a_n}{n}$．再利用等比数列的通项公式即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知${b_n}=1•{2^{n-1}}={2^{n-1}}$．可得${log_2}{b_n}={log_2}{2^{n-1}}=n-1$．再利用等差数列的求和公式即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：由${a_{n+1}}=\frac{2（n+1）}{n}{a_n}$，得$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}=2•\frac{a_n}{n}$．
所以b_n+1=2b_n，即$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=2$．
又因为${b_1}=\frac{a_1}{1}=1$，
所以数列{b_n}是以1为首项，公比为2的等比数列．…（7分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知${b_n}=1•{2^{n-1}}={2^{n-1}}$．
所以${log_2}{b_n}={log_2}{2^{n-1}}=n-1$．
则数列{log₂b_n}的前n项和T_n=$1+2+3+…+（n-1）=\frac{n（n-1）}{2}$．   …（13分）

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．