Question

4．某网店经营的一种商品进价是每件10元，根据一周的销售数据得出周销量P（件）与单价x（元）之间的关系如图折线所示，该网店与这种商品有关的周开支均为25元．
（I）根据周销量图写出周销量P（件）与单价x（元）之间的函数关系式；
（Ⅱ）写出周利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式；当该商品的销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润．

Answer 1

分析 （I）根据函数图象，求出解析式，即可写出周销量P（件）与单价x（元）之间的函数关系式；
（Ⅱ）分段求出最值，即可得出结论．

解答 解：（I）当x∈[12，20]时，P=k₁x+b₁，代入点（12，26），（20，10）得k₁=-2，b₁=50，∴P=-2x+50；
同理x∈（20，28]时，P=-x+30，
∴周销量P（件）与单价x（元）之间的函数关系式P=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+50，12≤x≤20}\\{-x+30，20＜x≤28}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）y=P（x-10）-25=$\left\{\begin{array}{l}{（-2x+50）（x-10）-25，12≤x≤20}\\{（-x+30）（x-10），20＜x≤28}\end{array}\right.$，
当x∈[12，20]时，y=$-2（x-\frac{35}{2}）^{2}+\frac{175}{2}$，x=$\frac{35}{2}$时，y_max=$\frac{175}{2}$；
x∈（20，28]时，y=-（x-20）²+75，函数单调递减，∴y＜75，
综上所述，x=$\frac{35}{2}$时，y_max=$\frac{175}{2}$．

点评 本题考查分段函数及运用，考查分段函数的最值，应考虑各段的最值，考查运算能力，属于中档题．