Question

13．双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一条渐近线与圆${（x-\sqrt{3}）^2}+{（y-1）^2}=1$相切，则此双曲线的离心率为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离为圆的半径求得a和b的关系，进而利用c²=a²+b²求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．

解答 解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆相切，
∴圆心到渐近线的距离为$\frac{|\sqrt{3}b-a|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=1或$\frac{|\sqrt{3}b+a|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=1，求得$\sqrt{3}$a=b，
∴c²=a²+b²=4a²，
∴e=2．
故选：A．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等．考查了学生数形结合的思想的运用．