Question

8．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥AB，AB=2AA，M是AB的中点，△A₁MC₁是等腰三角形，D为CC₁的中点，E为BC上一点．
（1）若BE=3EC，求证：DE∥平面A₁MC₁；
（2）若AA₁=l，求三棱锥A-MA₁C₁的体积．

Answer 1

分析 （1）取BC中点为N，连结MN，C₁N，则MN∥AC∥A₁C₁，从而DE∥NC₁．由此能证明DE∥平面A₁MC₁．
（2）三棱锥A-MA₁C₁的体积${V_{A-{A_1}M{C_1}}}={V_{{C_1}-{A_1}AM}}$．由此能求出结果．

解答 证明：（1）如图1，取BC中点为N，连结MN，C₁N，
∵M是AB中点，∴MN∥AC∥A₁C₁，
∴M，N，C₁，A₁共面．
∵BE=3EC，∴E是NC的中点．
又D是CC₁的中点，∴DE∥NC₁．
∵DE?平面MNC₁A₁，NC₁?平面MNC₁A₁，
∴DE∥平面A₁MC₁．
解：（2）如图2，当AA₁=1时，
则AM=1，A₁M=$\sqrt{2}$，A₁C₁=$\sqrt{2}$．
∴三棱锥A-MA₁C₁的体积：
${V_{A-{A_1}M{C_1}}}={V_{{C_1}-{A_1}AM}}=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}AM•A{A_1}•{A_1}{C_1}=\frac{{\sqrt{2}}}{6}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．