Question

18．若f（x）+f（1-x）=4，a_n=f（0）+f（$\frac{1}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$）+f（1）（n∈N⁺），则数列{a_n}的通项公式为a_n=2（n+1）．

Answer 1

分析 由题意可得自变量的和为1时函数值的和为4，运用数列的求和方法：倒序相加求和，计算即可得到所求和．

解答 解：由f（x）+f（1-x）=4，
可得自变量的和为1，则函数值的和为4，
由a_n=f（0）+f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）…+f（$\frac{n-1}{n}$）+f（1），
a_n=f（1）+f（$\frac{n-1}{n}$）+f（$\frac{n-2}{n}$）+…+f（$\frac{1}{n}$）+f（0），
相加可得2a_n=[f（0）+f（1）]+[f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{n-1}{n}$）]+…+[f（1）+f（0）]
=4+4+…+4=4（n+1），
解得a_n=2（n+1）．
故答案为：a_n=2（n+1）．

点评 本题是数列与函数结合的好题，考查数列的求和方法：倒序相加求和，考查推理能力和运算能力，属于中档题．