Question

已知函数f（x）=x³+ax，x∈R．
（1）a=-2时，求证：函数f（x）不是单调函数；
（2）a=0时，求证：函数f（x）是增函数；  
（3）若函数f（x）是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，求出单调区间，即可得证；（2）运用导数恒大于等于0，即可得证；
（3）求出导数，由条件即有f′（x）≥0在R上恒成立，运用参数分离，求出右边的最小值即可．

解答： （1）证明：f（x）=x³-2x的导数f′（x）=3x²-2，
则当x＞

6

3

或x＜-

6

3

时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当-

6

3

＜x＜

6

3

时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有函数f（x）在R上不是单调函数；
（2）证明：a=0时，f（x）=x³，
导数f′（x）=3x²≥0，恒成立，
则有f（x）在R上递增；
（3）解：函数f（x）=x³+ax的导数f′（x）=3x²+a，
由于函数f（x）是增函数，则f′（x）≥0在R上恒成立，
即有-a≤3x²恒成立，由于3x²≥0，
则有-a≤0，即a≥0．
故实数a的取值范围是[0，+∞）．

点评：本题考查导数的运用：求单调性和单调区间，以及已知单调区间，求参数的范围，考查运算能力，属于中档题．