Question

12．已知函数f（x）=log₂（16^x+k）-2x （k∈R）是偶函数．
（1）求k；
（2）若不等式m-1≤f（x）≤2m+log₂17在x∈[-1，$\frac{1}{2}$]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由偶函数的定义f（-x）=f（x）恒成立可求；
（2）不等式m-1≤f（x）≤2m+log₂17在x∈[-1，$\frac{1}{2}$]上恒成立，求出函数f（x）最值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=log₂（16^x+k）-2x=log₂（4^x+$\frac{k}{{4}^{x}}$），
∴f（-x）=log₂（4^-x+$\frac{k}{{4}^{-x}}$）=log₂（k4^x+4^-x），
由f（-x）=f（x）恒成立，得k=1
（Ⅱ）∵log₂（4^x+4^-x），令t=4^x，由x∈[-1，$\frac{1}{2}$]，
∴t∈[$\frac{1}{4}$，2]，
∵函数y=t+$\frac{1}{t}$在[$\frac{1}{4}$，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
∴当t=1时，即x=0时，函数f（x）有最小值f（0）=1，
∴当t=$\frac{1}{4}$时，即x=-1时，函数f（x）有最大值f（-1）=log₂$\frac{17}{4}$，
∵m-1≤f（x）≤2m+log₂17在x∈[-1，$\frac{1}{2}$]上恒成立，
∴m-1≤1且log₂$\frac{17}{4}$≤2m+log₂17．
解得-1≤m≤2
故m的取值范围为[-1，2]

点评 本题考查函数奇偶性的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，恒成立问题常转化为函数最值解决．