Question

17．在直角坐标系内，已知A（3，2）是圆C上一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为x-y+1=0和x+y-7=0，若圆C上存在点P，使∠MPN=90°，其中M，N的坐标分别为（-m，0），（m，0），则实数m的取值集合为[3，7]．

Answer 1

分析 求出⊙C的方程，过P，M，N的圆的方程，两圆外切时，m取得最大值，两圆内切时，m取得最小值．

解答 解：由题意，∴A（3，2）是⊙C上一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为x-y+1=0和x+y-7=0，
∴圆上不相同的两点为B（1，4），D（5，4），
∵A（3，2），BA⊥DA
∴BD的中点为圆心C（3，4），半径为1，
∴⊙C的方程为（x-3）²+（y-4）²=4．
过P，M，N的圆的方程为x²+y²=m²，
∴两圆外切时，m的最大值为$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$+2=7，两圆内切时，m的最小值为$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$-2=3，
故答案为[3，7]．

点评 本题考查圆的方程，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．