Question

已知A（-1，2）为曲线C：y=2x²上的点，直线l₁过点A，且与曲线C相切，
直线l₂：x=a（a＞-1）交曲线C于B，交直线l₁于点D．
（Ⅰ） 求直线l₁的方程；
（Ⅱ）设△BAD的面积为S₁，求S₁的值；
（Ⅲ） 设由曲线C，直线l₁，l₂所围成的图形的面积为S₂，求证S₁：S₂的值为与a无关的常数．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到函数在x=-1时的导数，由直线方程的点斜式得答案；
（Ⅱ）联立直线与直线方程、直线与抛物线方程求得B，D的坐标，代入三角形面积公式得答案；
（Ⅲ）由定积分的几何意义求得S₂的值，直接作比得答案．

解答： （Ⅰ）解：由y=2x²得：y'=4x，当x=-1时，y'=-4，

∴l₁的方程为y-2=-4（x+1），即y=-4x-2；
（Ⅱ）解：联立

y=2x2 x=a

，得B点坐标为（a，2a²）．
由

x=a 4x+y+12=0

，得D点坐标（a，-4a-2）．
点A到直线BD的距离为a+1，（a＞-1）．
|BD|=2a²+4a+2=2（a+1）²，
∴S1=(a+1)3；
（Ⅲ）证明：S1=(a+1)3，
S2=

∫

a -1

[2x2-(-4x-2)]dx
=

∫

a -1

(2x2+4x+2)dx=(

2

3

x3+2x2+2x)

|

a -1

=

2

3

(a+1)3．
∴S1：S2=

3

2

．
综上可知S₁：S₂的值为与a无关的常数，这常数是

3

2

．

点评：本题考查利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查了定积分，训练了微积分基本定的应用，关键是会求基本初等函数的导函数，是压轴题．