Question

已知圆C：x²+y²+mx-4y+1=0，过定点P（0，1）作斜率为1的直线交圆C于A、B两点，P为线段AB的中点．
（1）求m的值；
（2）设E为圆C上不同于A、B的任意一点，求△ABE面积的最大值．

Answer 1

考点：圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：（1）由已知条件知CP⊥AB，由C，P两点的坐标求直线CP的斜率，则根据CP的斜率与直线AB的斜率乘积为-1，即可求出m；
（2）由两点间距离公式求出CP的长，连接BC，|BC|=2，且△PBC为Rt△，所以能求出弦AB的长，并且容易判断当EP经过圆心C时，△ABE面积最大，容易求出EP的长，从而求出△ABE面积的最大值．

解答： 解：（1）圆C的方程变为：(x+

m

2

)2+(y-2)2=

m2

4

+3，∴圆心C(-

m

2

，2)；
由已知得l：y=x+1，PC⊥AB，P（0，1），所以k_PC=-

2

m

；
∴-

2

m

•1=-1，解得m=2；
所以圆C：（x+1）²+（y-2）²=4
（2）圆心到直线AB的距离为|CP|=

2

，所以弦AB的长为2

4-2

=2

2

；
如图所示，当△ABE面积最大时，PE经过圆心且PE⊥AB，此时PE=

2

+2；

所以△ABE面积的最大值为

1

2

•2

2

•(

2

+2)=2+2

2

．

点评：考查都存在斜率的两直线垂直的充要条件，有两点坐标求直线斜率，圆的标准方程，求弦长的方法，两点间距离公式．