Question

已知函数f（x）的解析式为f（x）=-（x-1）²+16，令g（x）=（2-2a）x-f（x）．
（1）若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调增函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数g（x）在x∈[0，2]的最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求出g（x），根据二次函数的单调性，求g（x）的单调增区间，根据函数g（x）在[0，2]上是增函数，得到限制a的不等式，从而求得实数a的取值范围；
（2）讨论a的取值，判断g（x）在[0，2]上的单调性及取得顶点情况，即可求出g（x）在[0，2]上的最小值．

解答： 解：（1）g（x）=x²-2ax-15；
∴该函数在[a，+∞）上为增函数；
又g（x）在[0，2]上是单调增函数；
∴a≤0；
（2）若a≤0，则g（x）_min=g（0）=-15；
若0＜a＜2，则g(x)min=g(a)=-a2-15；
若a≥2，则g（x）_min=g（2）=-4a-11．

点评：考查二次函数的单调性及单调区间，根据二次函数的单调性及取得顶点的情况求二次函数的最值．