Question

9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=$\frac{2}{3}$，sinB=$\sqrt{5}$cosC，并且a=$\sqrt{2}$，则△ABC的面积为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由cosA的值和平方关系求出sinA，利用诱导公式、内角和定理得到sinB=sin（A+C），利用两角和与差的正弦函数公式化简：sinB=$\sqrt{5}$cosC，利用同角三角函数间的基本关系列出方程组，求出sinC与cosC的值，由正弦定理求出c的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．

解答 解：∵cosA=$\frac{2}{3}$，A为三角形的内角，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\sqrt{1-\frac{4}{9}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∵sinB=$\sqrt{5}$cosC，且sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC+cosAsinC=$\sqrt{5}$cosC，则$\frac{\sqrt{5}}{3}$cosC+$\frac{2}{3}$sinC=$\sqrt{5}$cosC，
即$\frac{2}{3}$sinC-$\frac{2\sqrt{5}}{3}$cosC=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{sinC-\sqrt{5}cosC=0}\\{si{n}^{2}C+co{s}^{2}C=1}\end{array}\right.$得，sinC=$\sqrt{\frac{5}{6}}$，cosC=$\sqrt{\frac{1}{6}}$，
∴sinB=$\sqrt{5}$cosC=$\sqrt{\frac{5}{6}}$，
又a=$\sqrt{2}$，由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，
则c=$\frac{a•sinC}{sinA}$=$\frac{\sqrt{2}×\sqrt{\frac{5}{6}}}{\frac{\sqrt{5}}{3}}$=$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}×\sqrt{\frac{5}{6}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，熟练掌握公式和定理是解题的关键，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．