Question

18．已知实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ x+y-6≤0\\ 2x-y-2≥0\end{array}$，且z=2x+y的最小值为m，最大值为n，则$\int_m^n$（$\frac{1}{x}$+$\frac{ln2}{3}$）dx=（　　）

• A． ln3
• B． 2ln2
• C． 2ln3
• D． ln6

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最大值和最小值，结合积分的公式进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=2x+y得y=-2x+z
平移直线y=-2x+z，
由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最大，
此时z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y-6=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，j即A（3，3），
此时z=2x+y得z=2×3+3=9．即n=9，
当直线y=-2x+z经过点C时，直线y=-2x+z的截距最小，
此时z最小．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{2x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，即C（2，2），
代入目标函数z=2x+y得z=2×2+2=6．
即m=6，
则$\int_m^n$（$\frac{1}{x}$+$\frac{ln2}{3}$）dx=${∫}_{6}^{9}$（$\frac{1}{x}$+$\frac{ln2}{3}$）dx=（lnx+$\frac{ln2}{3}$x）|${\;}_{6}^{9}$=ln9+9×$\frac{ln2}{3}$-ln6-$\frac{ln2}{3}$×6
=ln9+3ln2-ln6-2ln2=ln9+ln8-ln6-ln4=ln$\frac{8×9}{6×4}$=ln3，
故选：A

点评 本题主要考查线性规划和积分的计算，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．