设数列{an}.a1=1.an+1=$\frac{a n}{2}$+$\frac{1}{2^n}$.数列{bn}.bn=2n-1an．(1)求证:数列{bn}为等差数列.并求出{bn}的通项公式,(2)数列{an}的前n项和为Sn.求Sn,(3)正数数列{dn}满足$d n^$=$\sqrt{1+\frac{1}{b n^2}+\frac{1}{{b {n+1}^2}}}$．设数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．设数列{a_n}，a₁=1，a_n+1=$\frac{a_n}{2}$+$\frac{1}{2^n}$，数列{b_n}，b_n=2^n-1a_n．
（1）求证：数列{b_n}为等差数列，并求出{b_n}的通项公式；
（2）数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n；
（3）正数数列{d_n}满足$d_n^$=$\sqrt{1+\frac{1}{b_n^2}+\frac{1}{{b_{n+1}^2}}}$．设数列{d_n}的前n项和为D_n，求不超过D₁₀₀的最大整数的值．

分析（1）由等差数列的定义和数列的递推公式即可证明，
（2）根据错位相减法即可求出数列{a_n}的前n项和为S_n，
（3）利用裂项求和，即可求出不超过D₁₀₀的最大整数的值．

解答解：（1）由${a_{n+1}}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{2^n}$，得${2^n}{a_{n+1}}={2^{n-1}}{a_n}+1$．
又${b_n}={2^{n-1}}{a_n}$，
所以b_n+1=b_n+1，
又b₁=a₁=1，
所以数列{b_n}是以1为首项，1为公差的等差数列．b_n=n．
（2）∵${a_n}=\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$
所以${S_n}=\frac{1}{2^0}+\frac{2}{2^1}+\frac{3}{2^2}+…+\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$①，
$\frac{1}{2}{S_n}=\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n}{2^n}$，②
由①-②，
得$\frac{1}{2}{S_n}=1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n}{2^n}=\frac{{1[1-{{（\frac{1}{2}）}^n}]}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n}{2^n}=2-{（\frac{1}{2}）^{n-1}}-\frac{n}{2^n}=2-\frac{2+n}{2^n}$
所以${S_n}=4-\frac{2+n}{{{2^{n-1}}}}$．
（3）${d_n}^2=1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}=\frac{{{n^2}{{（n+1）}^2}+{{（n+1）}^2}+{n^2}}}{{{n^2}{{（n+1）}^2}}}$
${d_n}=\frac{n（n+1）+1}{n（n+1）}=1+\frac{1}{n（n+1）}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
所以${D_{100}}=（1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}）+（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（1+\frac{1}{100}-\frac{1}{101}）=101-\frac{1}{101}$，
所以，不超过D₁₀₀的最大整数为100．