Question

20．在△ABC中，∠B=$\frac{π}{4}$，AB=4$\sqrt{2}$，点D在BC上，且CD=3，cos∠ADC=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．
（I）求sin∠BAD；  
（Ⅱ）求BD，AC的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由∠ADC+∠ADB=π和诱导公式求出cos∠ADB，由平方关系求出sin∠ADB，由内角和定理、两角和的正弦公式求出sin∠BAD；
（Ⅱ）在△ABD中由正弦定理求出BD、AD，在△ADC中由余弦定理求出AC的值．

解答 解：（Ⅰ）∵∠ADC+∠ADB=π，且cos∠ADC=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，∴cos∠ADB=-$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
∴sin∠ADB=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠ADB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
由∠B+∠ADB+∠BAD=π得，sin∠BAD=sin（∠B+∠ADB）
=sin∠Bcos∠ADB+cos∠Bsin∠ADB
=$\frac{\sqrt{2}}{2}×（-\frac{\sqrt{5}}{5}）+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理得$\frac{BD}{sin∠BAD}=\frac{AB}{sin∠ADB}$，
∴BD=$\frac{AB•sin∠BAD}{sin∠ADB}$=$\frac{4\sqrt{2}×\frac{\sqrt{10}}{10}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$=2，
由正弦定理得$\frac{AD}{sin∠B}=\frac{AB}{sin∠ADB}$，∴AD=$\frac{4\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$=$2\sqrt{5}$，
在△ADC中，由余弦定理得AC²=AD²+DC²-2AD•DC•cos∠ADC
=20+9-$2×2\sqrt{5}×3×\frac{\sqrt{5}}{5}$=17，
∴AC=$\sqrt{17}$．

点评 本题考查正弦、余弦定理的综合应用，内角和定理、两角和的正弦公式等，熟练掌握公式和定理是解题的关键，考查化简、计算能力．