Question

1．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中a的值；
（Ⅱ）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为X，求X的分布列与数学期望．
（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值（精确到0.01），并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据频率和为1，列出方程求得a的值；
（Ⅱ）计算月均用水量不低于3吨的频率值，由抽取的人数X的可能取值为0，1，2，3；
计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值；
（Ⅲ）计算月均用水量小于2.5吨和小于3吨的百分比，
求出有85%的居民月用水量不超过的标准值．

解答 解：（Ⅰ）根据频率和为1，得
（0.06+0.18+2a+0.42+0.52+0.11+0.06+0.03）×0.5=1，
解得a=0.30；
（Ⅱ）月均用水量不低于3吨的频率为
（0.11+0.06+0.03）×0.5=0.1，
则p=0.1，抽取的人数为X，
则X的可能取值为0，1，2，3；
∴P（X=0）=${C}_{3}^{0}$•0.9³=0.729，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$•0.1•0.9²=0.243，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}$•0.1²•0.9=0.027，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}$•0.1³=0.001；
∴X的分布列为

X	0	1	2	3
P	0.729	0.243	0.027	0.001

数学期望为EX=0×0.729+1×0.243+2×0.027+3×0.001=0.3；
（Ⅲ）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占的百分比为
0.5×（0.06+0.18+0.3+0.42+0.52）=0.73，
即73%的居民月均用水量小于2.5吨；
同理，88%的居民月均用水量小于3吨；
故2.5＜x＜3，
假设月均用水量平均分布，则
x=2.5+0.5×$\frac{（0.85-0.73）÷0.5}{0.3}$=2.9（吨），
即85%的居民每月用水量不超过标准为2.9吨．

点评 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．