Question

如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE∥AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．
（Ⅰ）求AC的长；
（Ⅱ）试比较BE与EF的长度关系．

Answer 1

考点：相似三角形的性质

专题：选作题,立体几何

分析：（Ⅰ）先求出CE，再证明△PAC∽△CBA，利用相似比，即可求AC的长；
（Ⅱ）由相交弦定理可得CE•ED=BE•EF，求出EF，即可得出结论．

解答： 解：（I）∵过A点的切线交DC的延长线于P，
∴PA²=PC•PD，
∵PC=1，PA=2，
∴PD=4
又PC=ED=1，∴CE=2，
∵∠PAC=∠CBA，∠PCA=∠CAB，
∴△PAC∽△CBA，
∴

PC

AC

=

AC

AB

，
∴AC²=PC•AB=2，
∴AC=

2

；                     …（5分）
（II）BE=AC=

2

，
由相交弦定理可得CE•ED=BE•EF．
∵CE=2，ED=1，
∴EF=

2

，
∴EF=BE．…（10分）

点评：本题考查相似三角形的性质，考查相交弦定理，判断三角形相似是关键．