题目内容
已知二次函数y=f（x）的二次项系数为负，对任意x∈R恒有f（3-x）=f（3+x），试问当f（2+2x-x2）与f（2-x-2x2）满足什么关系时才有-3＜x＜0？
考点：二次函数的性质
专题：函数的性质及应用
分析：由二次函数f（x）对任意实数x都有f（3-x）=f（3+x）知其对称轴，结合它的二次项系数为负可得其单调性，所以只需探讨（2+2x-2x2）和（2-x-2x2）的大小关系，从而得到x的范围．
解答：
解；由题意得：对称轴x=3，又二次项系数为负，
∴函数y=f（x）在（-∞，3）上单调递增，在（3，+∞）上单调递减，
∵2+2x-x2=3-（x-1）2≤3，2-x-2x2=
-2(x-
)2≤
，
由2+2x-x2-（2-x-2x2）=x（x+3）＜0得：-3＜x＜0，
∴当f（2+2x-x2）＜f（2-x-2x2）时有-3＜x＜0．
∴函数y=f（x）在（-∞，3）上单调递增，在（3，+∞）上单调递减，
∵2+2x-x2=3-（x-1）2≤3，2-x-2x2=
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由2+2x-x2-（2-x-2x2）=x（x+3）＜0得：-3＜x＜0，
∴当f（2+2x-x2）＜f（2-x-2x2）时有-3＜x＜0．
点评：本题是个中档题，主要考查二次函数的性质，以及比较大小和解不等式的方法．
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