Question

实数x、y满足3x²+2y²=6x，则

x2+y2

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的参数方程,三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的求值,坐标系和参数方程

分析：3x²+2y²=6x，配方得，3（x-1）²+2y²=3，令x=1+cosα，y=

6

2

sinα，α∈[0，2π），则

x2+y2

=

(1+cosα)2+ 3 2 sin2α

，由三角函数的同角公式，和余弦函数的值域，以及二次函数的性质即可得到最大值．

解答： 解：3x²+2y²=6x，配方得，3（x-1）²+2y²=3，
令x=1+cosα，y=

6

2

sinα，α∈[0，2π），
则

x2+y2

=

(1+cosα)2+ 3 2 sin2α

=

2

2

•

5+4cosα-cos2α

=

2

2

•

-(cosα-2)2+9

，
由于-1≤cosα≤1，
则当cosα=1时，

x2+y2

取得最大值

2

2

•

5+4-1

=2．
故答案为：2．

点评：本题考查运用椭圆的参数方程求最值的方法，考查三角函数的化简和求值，考查运算能力，属于中档题．