Question

（1）解不等式：（x²-3x-4）（9-x²）＜0
（2）若a＞0，解关于x的不等式x²-（a+

1

a

）x+1≤0．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：计算题,分类讨论,不等式的解法及应用

分析：（1）原不等式即为（x²-3x-4）（x²-9）＞0，即（x+3）（x-3）（x-4）（x+1）＞0，即有

(x+3)(x-3)＞0 (x-4)(x+1)＞0

或

(x+3)(x-3)＜0 (x-4)(x+1)＜0

，解出它们，再求并集即可；
（2）运用因式分解得到(x-

1

a

)(x-a)≤0，再讨论a＞1，0＜a＜1，运用二次不等式的解法，即可得到．

解答： 解：（1）∵（x²-3x-4）（9-x²）＜0，
∴（x²-3x-4）（x²-9）＞0，
∴（x+3）（x-3）（x-4）（x+1）＞0，
即有

(x+3)(x-3)＞0 (x-4)(x+1)＞0

或

(x+3)(x-3)＜0 (x-4)(x+1)＜0

，
即x＞4或x＜-3或-1＜x＜3，
∴原不等式解集为（-∞，-3）∪（-1，3）∪（4，+∞）；
（2）原不等式可化为：(x-

1

a

)(x-a)≤0，

当0＜a＜1时，有 1 a ＞a

，
∴原不等式的解集为{x|a≤x≤

1

a

}，
当a＞1时，

1

a

＜a，
∴原不等式解集为{x|

1

a

≤x≤a}．

点评：本题考查高次不等式的解法，以及含参的二次不等式的解法，注意分类讨论，考查运算能力，属于中档题．