Question

已知定义在R上的函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的周期为π，且对一切x∈R，都有f(x)≤f(

π

12

)=4．（1）求函数f（x）的表达式； 
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知f（A）=2

3

，b=1，△ABC的面积为

3

4

，求

b+c

sinB+sinC

的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题

分析：（1）利用辅助角公式化简，通过周期求出ω，通过函数的最值，列出方程，求出函数的解析式即可．
（2）f（A）=2

3

，可先求出A，b=1，△ABC的面积为

3

4

，故解得c=

3

2

，从而可求sinB，sinC，即可求出

b+c

sinB+sinC

的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=asinωx+bcosωx=

a2+b2

sin(ωx+φ），又周期T=

2π

ω

=π
∴ω=2
∵对一切x∈R，都有f（x）≤f（

π

12

）=4
∴

a2+b2 =4 asin π 6 +bcos π 4 =4

得：

a=2 b=2 3

∴f（x）的解析式为f（x）=2sin2x+2

3

cos2x
（2）f（A）=2

3

，有f（A）=2sin2A+2

3

cos2A=2

3

，
∴sin（2A+

π

3

）=

3

2

，得A=

kπ

2

，k∉Z，由于A为三角形内角，
∴A=

π

2

．
∵b=1，△ABC的面积为

3

4

，故

3

4

=

1

2

×b×c=

1

2

×c，解得c=

3

2

，
∴a=

1+ 3 4

=

7

2

，sinB=

b

a

=

2 7

7

，sinC=

c

a

=

21

7

，
∴

b+c

sinB+sinC

=

1+ 3 2

2 7 7 + 21 7

=

14+7 3

4 7 +2 21

．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，两角和与差的正弦函数，二倍角的正弦，三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．