Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，记f（n）=2a_n+1S_n-n（2S_n+a_n+1），n∈N^*
（1）若数列{a_n}是首项与公差均为1的等差数列，求f（2014）；
（2）若a₁=1，a₂=2且数列{a_2n-1}，{a_2n}均是公比为4的等比数列，求证：对任意正整数n，f（n）≥0．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）依题意，可求得a_n=n，a_n+1=n+1，S_n=

n(n+1)

2

，于是可求得f（n）=0，从而可求f（2014）；
（2）依题意，可求得a_n=2^n-1，于是可求得f（n）=2a_n+1S_n-n（2S_n+a_n+1）=2ⁿ（2ⁿ⁺¹-3n-2）+2n，对n分n=1与n≥2讨论，即可证得对任意正整数n，f（n）≥0．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}是首项与公差均为1的等差数列，
∴a_n=n，a_n+1=n+1，S_n=

n(n+1)

2

，
∴f（n）=2a_n+1S_n-n（2S_n+a_n+1）
=2（n+1）×

n(n+1)

2

-n[2×

n(n+1)

2

+（n+1）]
=n（n+1）²-n（n+1）²=0，
∴f（2014）=0；
（2）由题意?n∈N^*，a_2n-1=1×4^n-1=2^2n-2，
a_2n=2×4^n-1=2^2n-1，
∴a_n=2^n-1，
∴a_n+1=2ⁿ，S_n=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1，
∴f（n）=2a_n+1S_n-n（2S_n+a_n+1）
=2ⁿ⁺¹（2ⁿ-1）-n（2ⁿ⁺¹-2+2ⁿ）
=2ⁿ（2ⁿ⁺¹-3n-2）+2n，
当n=1时，f（1）=0；                     
当n≥2时，2ⁿ⁺¹=4×（1+1）^n-1≥4[1+（n-1）]=4n，
∴f（n）=2ⁿ（2ⁿ⁺¹-3n-2）+2n≥2ⁿ（4n-3n-2）+2n=2ⁿ（n-2）+2n≥2n＞0，
故对任意正整数n，f（n）＞0．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式与求和公式的综合应用，突出考查分类讨论思想与放缩法的应用，属于难题．