Question

如图正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点．
（1）求证：△ADE≌△ABF．
（2）求△AEF的面积．

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由四边形ABCD为正方形，得到AB=AD，∠B=∠D=90°，DC=CB，由E、F分别为DC、BC中点，得出DE=BF，从而证明出两三角形全等；
（2）首先求出DE和CE的长度，再根据S_△AEF=S_{正方形ABCD}-S_△ADE-S_△ABF-S_△CEF得出结果．

解答： （1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠D=∠B=90°，DC=CB，
∵E、F为DC、BC中点，
∴DE=

1

2

DC，BF=

1

2

BC，
∴DE=BF，
∵在△ADE和△ABF中，

AD=AB ∠B=∠D DE=BF

，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；
（2）解：由题知△ABF、△ADE、△CEF均为直角三角形，
且AB=AD=4，DE=BF=

1

2

×4=2，CE=CF=

1

2

×4=2，
∴S_△AEF=S_{正方形ABCD}-S_△ADE-S_△ABF-S_△CEF
=4×4-

1

2

×4×2-

1

2

×4×2-

1

2

×2×2
=6．

点评：本题考查三角形全等的证明．解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质以及全等三角形的判定定理．