Question

根据下列条件，求出数列{a_n}的通项公式：
（1）a₁=3，a_n+1=4a_n-6；
（2）a₁=1，a_n+1-a_n=2n+1．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出

an+1-2

an-2

=4，a₁-2=1，由此能求出an=4n-1+1．
（2）利用累加法能求出结果．

解答： 解：（1）∵a₁=3，a_n+1=4a_n-6，
∴a_n+1-2=4（a_n-2），
∴

an+1-2

an-2

=4，
又a₁-2=1，
∴{a_n-1}是首项为1，公比为4的等比数列，
∴an-1=4n-1，
∴an=4n-1+1．
（2）∵a₁=1，a_n+1-a_n=2n+1，
∴a₂-a₁=3，
a₃-a₂=5，
…
a_n-a_n-1=2n-1，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=3+3+5+…+（2n-1）
=3+

n-1

2

(3+2n-1)
=n²-2n+4．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法和累加法的合理运用．