Question

已知点A、B的坐标分别是（0，-1）、（0，1），|AB|是|MA|和|MB|的等差中项
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）设过（0，-2）的直线l与动点M的轨迹交于C、D两点，且

.

OC

•

.

OD

=2，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由等差数列的性质可得2|AB|=|MA|+|MB|=4，再利用椭圆的定义可知：动点M的轨迹是椭圆．
（2）点（0，-2）是椭圆的一个顶点，不妨取C（0，-2）．设D（x₀，y₀），当直线l为y轴时，不满足

.

OC

•

.

OD

=2，应舍去．
设直线l的方程为y=kx-2，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用数量积运算即可得出．

解答： 解：（1）设M（x，y），
∵|AB|是|MA|和|MB|的等差中项，
∴2|AB|=|MA|+|MB|，
∴|MA|+|MB|=4＞2=|AB|，
由椭圆的定义可知：动点M的轨迹是椭圆．
设椭圆的标准方程为：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)．
∴a=2，c=1，b²=a²-c²=3．
∴动点M的轨迹方程为：

y2

4

+

x2

3

=1．
（2）∵点（0，-2）是椭圆的一个顶点，不妨取C（0，-2）．
设D（x₀，y₀），当直线l为y轴时，不满足

.

OC

•

.

OD

=2，应舍去．
设直线l的方程为y=kx-2．
联立

y=kx-2 y2 4 + x2 3 =1

，化为（3k²+4）x²-12kx=0，
解得x=0或

12k

3k2+4

．∴D(

12k

3k2+4

，

6k2-8

3k2+4

)．
∵

.

OC

•

.

OD

=2，∴

-2(6k2-8)

3k2+4

=2，解得k=±

2

3

．
∴直线l的方程为：y=±

2

3

x-2．

点评：本题考查了等差数列的性质、椭圆的定义、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、数量积运算等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．