Question

如图所示，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长为2

2

，侧棱长为4，点E、F分别是棱AB、BC的中点，EF与BD交于点G
（1）求异面直线D₁E和DC所成角的正切值；
（2）求证：平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,异面直线及其所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）在正四棱柱中，异面直线D₁E和DC所成的角，即D₁E和AB所成的角，然后通过解直角三角形求解；
（2）证平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁，只需证明EF垂直于平面BDD₁B₁，由正四棱柱的性质即可证明．

解答： 证明：（Ⅰ）连结AD₁．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是正四棱柱，
∴AA₁⊥平面ABCD．
∴平面ADD₁A₁⊥平面ABCD．
又AB⊥AD，
∴AB⊥平面ADD₁A₁．
∴AB⊥AD₁．
由已知AD=2

2

，DD₁=4，
∴AD₁=

AD2+DD12

=2

6

．
而AE=

2

，
∴tan∠ADE₁=

AD1

AE

=2

3

．
∵CD∥AB．
∴DC与D₁E所成的角就是AB与D₁E所成的角，即∠D₁EA．
∴直线DC与D₁E所成的角为arctan2

3

；
（Ⅱ）连结AC，由已知，EF∥AC，AC⊥BD．
∴EF⊥BD．
又BB₁⊥EF，且BD∩B₁B=B．
∴EF⊥平面BDD₁B₁．
∵EF?平面EFB₁．
∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁．

点评：本题考查了异面直线所成的角，考查了面与面的垂直，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．