Question

1．设数列{a_n}满足a_n+1=a_n²-na_n+1，n=1，2，3，…．
（1）当a₁=2时，求a₂，a₃，a₄，并由此猜想出{a_n}的一个通项公式；
（2）当a₁≥3时，用数学归纳法证明对所有n≥1，有a_n≥n+2．

Answer 1

分析 （1）分别取n=2，3，4依次计算得出，猜想：a_n=n+1；
（2）利用数学归纳法证明即可．

解答 解：（1）由a₁=2，则a₂=a₁²-a₁+1=4-2+1=3，
则a₃=a₂²-2a₂+1=9-6+1=4，
a₄=a₃²-3a₃+1=16-12+1=5．
猜想：a_n=n+1．
（2）证明：当n=1时，a₁≥3=1+2，不等式成立；
假设n=k（k≥1）时不等式成立，即a_k≥k+2，
则a_k+1=a_k²-ka_k+1=a_k（a_k-k）+1≥（k+2）（k+2-k）+1=2k+5＞k+3，
即n=k+1时，不等式仍成立．
综上，对于所有n≥1，都有a_n≥n+2．

点评 本题考查了利用数学归纳法证明数列的通项公式，属于中档题．