Question

16．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，O为坐标原点，点P（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在椭圆上，连接PF₁交y轴于点Q，点Q满足$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$．直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与椭圆C有两个交点A，B．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知点M（$\frac{5}{4}$，0），若直线l过椭圆C的右焦点F₂，证明：$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$为定值；
（Ⅲ）若直线l过点（0，2），设N为椭圆C上一点，且满足$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{ON}$，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：c=1，$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²-c²，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）设直线AB的方程，代入椭圆方程，由韦达定理定理及向量数量积的坐标运算，即可求证$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$为定值；
（Ⅲ）分类讨论，设直线AB的方程，代入椭圆方程，由△＞0，求得k²＞$\frac{3}{2}$，由韦达定理，向量数量积的坐标运算，即可求得4=$\frac{{λ}^{2}}{4}$（1+2k²），即可求得实数λ的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$，则Q为PF₁的中点，则PF₁⊥F₁F₂，
则c=1，$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²-c²，
解得：a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；

（Ⅱ）证明：由题意可知：设直线l的方程y=k（x-1），k≠1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
则x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=k²x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²，
由$\overrightarrow{MA}$=（x₁-$\frac{5}{4}$，y₁），$\overrightarrow{MB}$=（x₂-$\frac{5}{4}$，y₂），
则$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（x₁-$\frac{5}{4}$，y₁）（x₂-$\frac{5}{4}$，y₂）=（1+k²）x₁x₂-（k²+$\frac{5}{4}$）（x₁+x₂）+$\frac{25}{16}$+k²，
=（1+k²）×$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-（k²+$\frac{5}{4}$）×$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{25}{16}$+k²，
=$\frac{-2（1+2{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$$\frac{25}{16}$+$\frac{25}{16}$，
=-$\frac{7}{16}$，
∴$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$为定值，定值为-$\frac{7}{16}$；
（Ⅲ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀）．
当λ=0时，由$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{ON}$，$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{0}$，A与B关于原点对称，存在Q满足题意，
∴λ=0成立；
当λ≠0时，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+8kx+6=0，
由△=（8k）²-4×6（1+2k²）＞0，解得k²＞$\frac{3}{2}$，…（*），
∴x₁+x₂=-$\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{6}{1+2{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+4=$\frac{4}{1+2{k}^{2}}$．
由$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{ON}$，得（x₁+x₂，y₁+y₂）=（λx₀，λy₀），可得x₁+x₂=λx₀，y₁+y₂=λy₀，
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{1}{λ}（{x}_{1}+{x}_{2}）=-\frac{8k}{λ（1+2{k}^{2}）}}\\{{y}_{0}=\frac{1}{λ}（{y}_{1}+{y}_{2}）=\frac{4}{λ（1+2{k}^{2}）}}\end{array}\right.$，由Q在椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$上，
代入，整理得4=$\frac{{λ}^{2}}{4}$（1+2k²），
代入（*）式，得λ²＜4，解得-2＜λ＜2且λ≠0．
综上可知：λ∈（-2，2）．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．