题目内容
13．已知数列{an}是首项为2的等差数列，数列{bn}是公比为2的等比数列，且满足a2+b3=7，a4+b5=21．（1）求数列{an}与{bn}的通项；
（2）令${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$，求数列{cn}的前n项和Sn．
分析 （1）由题意可知根据等差数列及等比数列的通项公式，列方程组，即可求得求得{an}的公差为d，数列{bn}的首项为b1，即可求得数列{an}与{bn}的通项；
（2）由（1）求得数列{cn}的通项公式，利用“错位相减法”即可求得数列{cn}的前n项和Sn．
解答 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的首项为b1，
由$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d+{b}_{1}{q}^{2}=7}\\{{a}_{1}+3d+{b}_{1}{q}^{4}=21}\end{array}\right.$，整理得：$\left\{\begin{array}{l}{4{b}_{1}+d=5}\\{16{b}_{1}+3d=19}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{d=1}\\{{b}_{1}=1}\end{array}\right.$，
an=a1+（n-1）d=n+1，bn=b1qn-1=2n-1，
∴数列{an}的通项公式an=n+1，{bn}的通项公式bn=2n-1；
（2）由（1）可知${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$=$\frac{n+1}{{2}^{n-1}}$，
数列{cn}的前n项和Sn，Sn=$\frac{2}{{2}^{0}}$+$\frac{3}{{2}^{1}}$+…+$\frac{n+1}{{2}^{n-1}}$，①
则$\frac{1}{2}$Sn=$\frac{2}{{2}^{1}}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，②
①-②整理得：$\frac{1}{2}$Sn=2+（$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）-$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
=3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$，
∴Sn=6-$\frac{n+3}{{2}^{n-1}}$，
数列{cn}的前n项和Sn，Sn=6-$\frac{n+3}{{2}^{n-1}}$．
点评 本题考查等比数列及等比数列通项公式，考查“错位相减法”求得数列的通项公式，考查计算能力，属于中档题．
