Question

已知焦距为2

6

的椭圆中心在原点O，短轴的一个端点为(0，

2

)，点M为直线y=

1

2

x与该椭圆在第一象限内的交点，平行OM的直线l交椭圆与A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：直线MA，MB与x轴围成的三角形恒为等腰三角形．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，联立

2c=2 6 b= 2

，a²=b²+c²，解得即可；
（II）设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，由题意M（2，1），设直线l的方程为y=

1

2

x+m．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，利用斜率计算公式只有证明k₁+k₂=0即可．

解答： （I）解：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
联立

2c=2 6 b= 2

，a²=b²+c²，解得a=2

2

． 
所以椭圆方程为

x2

8

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）证明：由题意M（2，1），设直线l的方程为y=

1

2

x+m．
由

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1

，得x²+2mx+2m²-4=0，
设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

由x²+2mx+2m²-4=0，可得x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4．
k1+k2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

( 1 2 x1+m-1)(x2-2)+( 1 2 x2+m-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4-2m2+4m-4m+4

(x1-2)(x2-2)

=0，即k₁+k₂=0．
∴直线MA，MB与x轴围成的三角形恒为等腰三角形．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．