题目内容
已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=（-1）n-1
，求数列{bn}的前n项和Tn；
（3）总结求解数列通项以及数列求和常考方式及对应特征．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=（-1）n-1
| 4n |
| anan+1 |
（3）总结求解数列通项以及数列求和常考方式及对应特征．
考点：数列的求和,等差数列与等比数列的综合
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）设出等差数列{an}的首项为a1，由S1，S2，S4成等比数列列式求得a1=1．代入等差数列的通项公式得答案；
（2）把数列{an}的通项公式代入bn=（-1）n-1
．列项后分n为偶数和奇数求得数列{bn}的前n项和Tn；
（3）除常见的等差数列和等比数列的通项公式外，求解数列通项公式常见方法有累加法、累积法、构造法等；求解数列的和，除等差数列和等比数列的前n项和外，还有分组求和、裂项相消法求和、错位相减法求和等．
（2）把数列{an}的通项公式代入bn=（-1）n-1
| 4n |
| anan+1 |
（3）除常见的等差数列和等比数列的通项公式外，求解数列通项公式常见方法有累加法、累积法、构造法等；求解数列的和，除等差数列和等比数列的前n项和外，还有分组求和、裂项相消法求和、错位相减法求和等．
解答：
解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，由S1，S2，S4成等比数列，
得(2a1+d)2=a1(4a1+6d)，即(2a1+2)2=a1(4a1+12)，
解得：a1=1．
∴an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（2）bn=（-1）n-1
=(-1)n-1
=(-1)n-1(
+
)．
当n为偶数时，
Tn=1+
-
-
+
+
+…-
-
=1-
=
；
当n为奇数时，
Tn=1+
-
-
+
+
+…+
+
=1+
=
．
（3）求解数列通项公式常见方法：
①已知数列{an}的首项a1，给出an+1-an=f（n）（f（n）的前n项和可求），常用累加法；
②已知数列{an}的首项a1，给出
=f(n)（f（n）的前n项积可求），常用累积法；
③已知数列{an}的首项a1，且满足递推式an+1=pan+q，常利用构造以p为公比的等比数列求解；
④比较繁琐的数列递推式，如a1+2a2+3a3+…+nan=f（n），常取n=n-1得另一递推式，然后采用作差或作商的形式求解．
求解数列的和，除等差数列和等比数列的前n项和外，还有分组求和、裂项相消法求和、错位相减法求和等，对于裂项相消法，一般涉及到一个等差数列的连续两项的乘积的倒数，如数列{an}是等差数列，求数列{
}的前n项和，列项为
=
(
-
)；
错位相减法，一般适用于一个等差数列和一个等比数列的积数列求和，办法是采用等式两边同时乘以等比数列的公比．
得(2a1+d)2=a1(4a1+6d)，即(2a1+2)2=a1(4a1+12)，
解得：a1=1．
∴an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（2）bn=（-1）n-1
| 4n |
| anan+1 |
| 4n |
| (2n-1)(2n+1) |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2n+1 |
当n为偶数时，
Tn=1+
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2n+1 |
| 2n |
| 2n+1 |
当n为奇数时，
Tn=1+
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2n+1 |
| 2n+2 |
| 2n+1 |
（3）求解数列通项公式常见方法：
①已知数列{an}的首项a1，给出an+1-an=f（n）（f（n）的前n项和可求），常用累加法；
②已知数列{an}的首项a1，给出
| an+1 |
| an |
③已知数列{an}的首项a1，且满足递推式an+1=pan+q，常利用构造以p为公比的等比数列求解；
④比较繁琐的数列递推式，如a1+2a2+3a3+…+nan=f（n），常取n=n-1得另一递推式，然后采用作差或作商的形式求解．
求解数列的和，除等差数列和等比数列的前n项和外，还有分组求和、裂项相消法求和、错位相减法求和等，对于裂项相消法，一般涉及到一个等差数列的连续两项的乘积的倒数，如数列{an}是等差数列，求数列{
| 1 |
| anan+1 |
| 1 |
| anan+1 |
| 1 |
| d |
| 1 |
| an |
| 1 |
| an+1 |
错位相减法，一般适用于一个等差数列和一个等比数列的积数列求和，办法是采用等式两边同时乘以等比数列的公比．
点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．
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