Question

已知函数f（x）=

1

2

log_a（ax）•log_a（a²x）（a＞0，且a≠1）．
（1）解关于x的不等式f（x）＞0；
（2）若函数f（x）在[2，8]上的最大值是1，最小值是-

1

8

，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,对数的运算性质,指、对数不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先将不等式进行化简，转化为关于log_ax的二次不等式，解出log_ax后，再结合已知求解x的范围；
（2）利用换元思想，将问题转化为二次函数在指定区间上的最值问题，结合配方法求出结果，注意分类讨论．

解答： 解：（1）f（x）=

1

2

（log_ax+1）（log_ax+2）=

1

2

（log

2 a

x+3log_ax+2），
令f（x）＞0，即log

2 a

x+3log_ax+2＞0，解得log₂x＜-2或log_ax＞-1，
当0＜a＜1时，不等式解集为{x|0＜x＜

1

a

或x＞

1

a2

}，
当a＞1时，不等式解集为{x|0＜x＜

1

a2

或x＞

1

a

}，
（2）由题意知f（x）=

1

2

（log_ax+1）（log_ax+2）
=

1

2

（loga2x+3logax+2）=

1

2

（log_ax+

3

2

）²-

1

8

．
当f（x）取最小值-

1

8

时，log_ax=-

3

2

．
又∵x∈[2，8]，∴a∈（0，1）．
∵f（x）是关于log_ax的二次函数，
∴函数f（x）的最大值必在x=2或x=8时取得．
若

1

2

（log_a2+

3

2

）²-

1

8

=1，则a=2-

1

3

，
此时f（x）取得最小值时，x=(2-

1

3

)-

3

2

=

2

∉[2，8]，舍去．
若

1

2

（log_a8+

3

2

）²-

1

8

=1，则a=

1

2

，
此时f（x）取得最小值时，x=(

1

2

)-

3

2

=2

2

∈[2，8]，
符合题意，∴a=

1

2

．

点评：对数函数与二次函数复合构成的函数，对数函数为内层时，一般采用换元法转化为二次函数来求解，注意中间量的取值范围．