Question

有一系列椭圆C_k：

x2

a 2 k

+

y2

b 2 k

=1（k=1，2，3，…，n）．所有这些椭圆都以x=1为准线，离心率e_k=（

1

2

）^k（k=1，2，3，…，n）．则这些椭圆长轴的和为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,数列的求和

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据准线方程以及离心率公式即可求出长轴长2a_k=(

1

2

)k-1，所以2a₁，2a₂，2a₃，…，2a_n是以

1

2

为公比的等比数列，根据等比数列求和公式求这些椭圆长轴的和即可．

解答： 解：由已知条件得：

ak2 ck =1 ck ak =( 1 2 )k

，∴ak=(

1

2

)k，2ak=(

1

2

)k-1，k=1，2，3，…，n；
∴2a₁+2a₂+2a₃+…+2a_n=1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-

1

2n-1

．
故答案为：2-

1

2n-1

．

点评：考查椭圆的准线方程，离心率，以及长轴的概念，等比数列求和公式．