Question

如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC．
问：当点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？

Answer 1

考点：圆的切线的判定定理的证明

专题：立体几何

分析：在△AOB中，由已知OA=2，OB=1，设∠AOB=α，则可应用余弦定理将AB的长用α的三角函数表示出来，进而四边形OACB面积S=S_△AOB+S_△AB表示成为α的三角函数，再注意α∈（0，π），将三角函数化简成为y=Asin（ωx+φ）+B的形式，就可求得使四边形OACB面积最大的角α的值，从而就可确定点B的位置．

解答： 解：设∠AOB=α，（1分）
在△AOB中，由余弦定理得
AB²=OA²+OB²-2×OA×OBcos∠AOB
=1²+2²-2×1×2×cosα
=5-4cosα，．（4分）
于是，四边形OACB的面积为
S=S_△AOB+S_△ABC=

1

2

OA•OBsinα+

3

4

AB² （6分）
=

1

2

×2×1×sinα+

3

4

（5-4cosα）
=sinα-

3

cosα+

5 3

4

=2sin（x-

π

3

）+

5 3

4

．（10分）
因为0＜α＜π，所以当α-

π

3

=

π

2

，α=

5π

6

，
即∠AOB=

5π

6

时，四边形OACB面积最大．（12分）

点评：本题考查四边形面积最大时点的位置的确定，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．