Question

已知二次函数f（x）=x²+x，若不等式f（-x）+f（x）≤2|x|的解集为C．
（1）求集合C；
（2）若方程f（a^x）-a^x+1=5（a＞0，a≠1）在C上有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（x）=x²+x，代入f（-x）+f（x）≤2|x|，去掉绝对值求解即可；
（2）利用换元法求解关于指数函数的方程．

解答： 解：（1）f（x）+f（-x）=2x²------------------------------（1分）
当x≥0时，2x²≤2x
解得：0≤x≤1------------------（3分）
当x＜0时，2x²≤-2x
解得：-1≤x＜0--------------（5分）
所以集合C=[-1，1]---------------（6分）
（2）∵f（a^x）-a^x+1-5=0
∴（a^x）²-（a-1）a^x-5=0，
令a^x=u
则方程为h（u）=u²-（a-1）u-5=0，
h（0）=-5---------------（7分）
当a＞1时，u∈[

1

a

，a]，h（u）=0在[

1

a

，a]上有解，
则

h( 1 a )= 1 a2 -1+ 1 a -5≤0 h(a)=a2-(a-1)a-5≥0

∴a≥5-----------------（9分）
当0＜a＜1时，u∈[a，

1

a

]，g（u）=0在[a，

1

a

]上有解，
则

h(a)≤0 h( 1 a )≥0

∴0＜a≤

1

2

------------------------（11分）
所以，当0＜a≤

1

2

或a≥5时，方程在C上有解，且有唯一解．-----------（12分）

点评：本题主要考查二次函数的性质，有关指数的方程．