Question

设函数f（x）=-x²+ax+3（a＞0）．
（1）求函数y=f（x）最大值；
（2）若函数在（0，3）上有零点，求实数a的取值范围；
（3）对于给定的正数a，有一个最大的正数l（a），使得在整个区间[0，l（a）]上，不等式|f（x）|≤5都成立，求l（a）表达式，并求函数l（a）最大值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用配方法求二次函数的最值；
（2）根据零点的判定方法，得f（0）=3＞0，固有f（3）＜0；
（3）分情况进行讨论．

解答： 解：（1）f(x)=-x2+ax+3=-(x-

a

2

)2+

1

4

a2+3，
故函数最大值fmax=

1

4

a2+3，
（2）由题意，因为f（0）=3＞0，图象开口朝下，
则必有f（3）＜0，
解得a∈（0，2）；
（3）由f(x)=-x2+ax+3=-(x-

a

2

)2+

1

4

a2+3，
当

1

4

a2+3＞5时，即a＞2

2

，
l（a）是方程-x²+ax+3=5的较小根，
解得l(a)=

a- a2-8

2

；
当

1

4

a2+3≤5时，即0≤a≤2

2

时，
l（a）是方程-x²+ax+3=-5的较大根，
解得l(a)=

a+ a2+32

2

；
综上：l(a)=

a+ a2+32 2   (0＜a≤2 2 ) a- a2-8 2   (a＞2 2 )

---------（7分）

（3）当0≤a≤2

2

时，l(a)=

a+ a2+32

2

≤

2 2 + 8+32

2

=

2

+

10

当a＞2

2

时，l(a)=

a- a2-8

2

=

4

a+ a2-8

＜

4

2 2 + 8-8

=

2

对比可知：当a=2

2

时，l（a）取到最大值

2

+

10

---------（10分）

点评：本题主要考查二次函数的单调性、最值、零点等知识，属于中档题．