Question

12．在极坐标系中，已知圆C的圆心C（3，$\frac{π}{9}$），半径为1．Q点在圆周上运动，O为极点．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）若P在直线OQ上运动，且满足$\frac{OQ}{QP}$=$\frac{2}{3}$，求动点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）设M（ρ，θ）为圆C上任意一点，由余弦定理，得1=ρ²+9-2•ρ•3•cos（$θ-\frac{π}{6}$），由此能求出圆C的轨迹方程．
（2）设Q（ρ₁，θ₁），则${{ρ}_{1}}^{2}$-6•ρ₁cos（${θ}_{1}-\frac{π}{6}$）+8=0，设P（ρ，θ），则OQ：QP=ρ₁：（ρ-ρ₁）=2：3，由此能求出P点的轨迹方程．

解答 解：（1）设M（ρ，θ）为圆C上任意一点，
如图，在△OCM中，|OC|=3，|OM|=ρ，|CM|=1，∠COM=|$θ-\frac{π}{6}$|，
根据余弦定理，得1=ρ²+9-2•ρ•3•cos（$θ-\frac{π}{6}$），
化简整理，得ρ²-6•ρcos（$θ-\frac{π}{6}$）+8=0为圆C的极坐标方程．
（2）设Q（ρ₁，θ₁），
则有${{ρ}_{1}}^{2}$-6•ρ₁cos（${θ}_{1}-\frac{π}{6}$）+8=0，①
设P（ρ，θ），则OQ：QP=ρ₁：（ρ-ρ₁）=2：3，解得ρ₁=$\frac{2}{5}$ρ，
又θ₁=θ，即$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{1}=\frac{2}{5}ρ}\\{{θ}_{1}=θ}\end{array}\right.$，
代入①得$\frac{4}{25}$ρ²-6•$\frac{2}{5}$ρcos（θ-$\frac{π}{6}$）+8=0，
整理得ρ²-15ρcos（$θ-\frac{5π}{6}$）+50=0为P点的轨迹方程．

点评 本题考查圆的极坐标方程的求法，考查点的轨迹坐标方程的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．