Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ccosA+acosC=2bcosA．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=5

3

，b=5，求sinB．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：（I）由ccosA+acosC=2bcosA，利用正弦定理可得sinCcosA+sinAcosC=2sinBcosA，即sin（A+C）=2sinBcosA，再利用三角形内角和定理与诱导公式即可得出；
（II）由于△ABC的面积S=5

3

，b=5，可得5

3

=

1

2

bcsinA=

1

2

×5csin

π

3

，解得c．由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，解得a．再利用正弦定理可得：

a

sinA

=

b

sinB

，解出即可．

解答： 解：（I）∵ccosA+acosC=2bcosA，
∴由正弦定理可得sinCcosA+sinAcosC=2sinBcosA，
∴sin（A+C）=2sinBcosA，
∴sinB=2sinBcosA，
∵sinB≠0，
∴cosA=

1

2

，
∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

．
（II）∵△ABC的面积S=5

3

，b=5，
∴5

3

=

1

2

bcsinA=

1

2

×5csin

π

3

，解得c=4．
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=52+42-2×5×4×cos

π

3

=21，
∴a=

21

．
由正弦定理可得：

a

sinA

=

b

sinB

，
∴sinB=

bsinA

a

=

5sin π 3

21

=

5 7

14

．

点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理与诱导公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．