Question

已知函数f（x）=a^x-bx（a＞0，a≠1）．
（1）若函数y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=（e-1）x，求函数f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，设g（x）=x²-x+m，若存在x₀∈R，使对任意x∈R不等式f（x）＞g（x₀）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数，然后结合题意求得a，b的值，则函数解析式可求；
（2）把存在x₀∈R，使对任意x∈R不等式f（x）＞g（x₀）成立，转化为对任意x∈R，f（x）_min＞g（x）_min成立，由二次函数求得g（x）的最小值，利用导数求得f（x）的最小值，然后列不等式求得m的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=a^x-bx，
∴f′（x）=a^xlna-b，f′（1）=alna-b，
由函数y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=（e-1）x，得

a-b=e-1 alna-b=e-1

，解得

a=e b=1

．
∴f（x）=e^x-x；
（2）f（x）=e^x-x，g（x）=x²-x+m，
若存在x₀∈R，使对任意x∈R不等式f（x）＞g（x₀）成立，即
对任意x∈R，f（x）_min＞g（x）_min成立，
g(x)min=

4m-1

4

，
f′（x）=e^x-1，当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
∴函数f（x）的极小值也是最小值为f（0）=1．
由

4m-1

4

＜1，解得：m＜

5

4

．
∴实数m的取值范围是（-∞，

5

4

）．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，是中档题．